想象以下场景：在一个没有风的安静夏 夜，你慢慢地在路上走着，突然“嗖”的一 声，一个人骑着车从你旁边飞驰而过……在 上面这段话里，你和自行车都在运动，为什 么你慢慢地走就没有声音(其实理论上也有， 但是太小了以致于我们的耳朵听不到) ，自 行车飞驰而过却能发出声音，这个现象和我们今天要介绍的话题有关，这就是湍流。

　　在上面的场景里，声源是什么呢？声源 指发出声音的物体，比如我们说话的声源是 声带，小提琴的声源是琴弦，声源振动产生 声音，上面提到的自行车骑过的时候，骑车 的人和自行车的整个表面都会振动从而发出 声音。随之而来的第二个问题就是骑车的人和 自行车的表面为什么会振动？当然这里我们 说的是一个零件完好的自行车，而不是那种 骑起来除了铃铛哪都响的破车。之所以会振 动，是因为它们的表面压力在不停地变化， 你用手指戳一个橡皮球，按下去又松开来， 橡皮球表面的压力发生变化从而引起变形， 只是自行车表面的变形幅度很小，以至于你 无法用肉眼观察到。

　　

　　图 1 平均运动、脉动和总体运动

　　我们继续追问，是什么引起自行车和骑 车的人表面压力发生变化的呢？答案就是湍 流。相对应的，一个慢走的人表面压力不会 发生变化，是因为他的周围没有湍流，这种 流动状态也被称为层流。层流状态下，压力 不会快速变化，所以就没有声音(当然压力 有可能会很慢地小幅度的变化，但是发出的 声音无法被人的耳朵听到) ，而在湍流状态 下，由于周围流体的运动速度在不停地发生 变化，引起了壁面压力的变化，从而发出了 声音。这种大小随时间变化的现象被称为脉 动，对应的不随时间变化的运动，被称为平 均运动(图 1)。

　　为什么自行车在骑行时有湍流而人在慢走的时候没有湍流呢？这就要提到一个重 要的无量纲参数：雷诺数 Re，它的定义是 Re=uh/v，其中 u 是流动的特征速度，在上 面的例子中可以看作空气相对于人或者自行 车的运动速度，也就是说在走路的时候 u 很 小，而在骑车的时候 u 较大；h 是流动的特 征长度，这里可以看作人的身高，在慢走和 骑车的情况下是相当的；v 则是流体的粘性， 在这个例子里可以看作一个常数。这个例子 里，影响雷诺数的量是速度，慢走时速度慢 雷诺数低，流动是层流状态，骑车时速度快 雷诺数高，流动是湍流状态。

　　从上面的叙述中可以知道，研究湍流运 动引起的声音，关键是研究壁面压力脉动的 特征。可是自行车的几何外形太复杂了，而 且骑行时的速度也很难始终保持不变，直接 研究这个问题难以得出规律性的结论，在这 种情况下科研工作往往考虑从一个最基础的 模型入手，我们选择了近壁湍流研究中最基 础的模型——槽道湍流。槽道指两块无穷大 的平板，中间有一定间隙，并且有一个固定 的压力梯度驱动流体在两板之间沿某一方向 运动，这个方向我们称之为流向。

　　近 期，《J. Fluid Mech.》 刊 登 了 我 们在槽道湍流壁面压力方面的研究进展， 论文题目为《槽道湍流中壁面压力的时空 能 谱 》(On the wavenumber-frequency spectrum of the wall pressure fluctuations in turbulent channel flow)。在这个工作 里，我们使用傅里叶变换的方法对壁面压力脉动的时空信号进行了谱分析，由于通过直 接数值模拟(DNS，指用网格分辨所有尺度 的运动而不加入任何模型的一种数值模拟手 段，是进行机理研究最常用的方法)计算壁 面压力时空谱需要较大的计算资源与存储空 间，目前文献中壁面压力时空谱的 DNS 研 究仅局限于 Re τ=180 的低雷诺数情况。本研 究计算了 Re τ=180 ~ 1000 的槽道湍流 DNS 及相应的壁面压力时空谱，提出了壁面压力 时空谱的随机下扫模型。

　　上面这段文字里提到了“谱”的概念， 为了便于理解，可以类比声谱和光谱。声谱 通常指把声音按照频率进行分解，频率和时 间成反比，频率低则时间长，频率高则时间 短，不同频率的声音在音乐上对应了不同的 音高，人们常说一个歌手唱歌没有杂音，其 实是指这位歌手唱出来的每一个音的声谱都 集中在某一个特定的频率上。对于光而言， 我们很少按照频率来进行分解，这是因为光 的振动频率太高了，以至于我们不可能用肉 眼去分辨，但是我们的眼睛可以分辨光的颜 色，其实这对应了把光按照不同的波长进行 分解，红光的波长比紫光长，白光是由各种 波长的光混合而成，是一种宽谱信号。相对 于声音和光，湍流信号即在不同频率上有很 大差别，也在不同波长上有不同的特征，因 此要全面地描述湍流的信号，我们需要研究 它的时空谱，也就是对湍流信号在时间和空 间上同时进行傅里叶变换。

　　

　　图 2 泰勒冻结假设示意图

　　有了时空谱的概念，我们继续介绍什么 是随机下扫模型，这就必须要先介绍另一个 概念，叫做泰勒冻结假设。假如我们想临摹 一幅清明上河图，我们通常会从一头开始， 画完一部分把画纸挪动一下再画下一部分。 可是在实验室里，如果我们想要测量一个很 长的湍流结构，流体不会像清明上河图一样 乖乖地停留在原地等你一点一点地挪动你的 相机，这时我们该怎么办呢？泰勒冻结假设 认为，上游的信号会在之后的某个时刻一成 不变地传到下游， 比如流动速度是 3 米 / 秒， 那么我在 1 秒之后拍到的某一位置的流场和 当前时刻上游 3 米处的流场是一样的，这样 我们只需要在我们的拍照窗口上多拍几张照 片，然后把它们拼起来就可以得到当前时刻 的流场(图 2)。

　　如果没有速度脉动，那么泰勒冻结假设 是准确的。可是对于湍流而言，由于脉动的 存在，信号在传播过程中是不可能“一成不 变”的。为了更准确地描述湍流的运动，需 要对泰勒冻结假设进行修正，其中最常用的 修正就随机下扫模型。在泰勒冻结假设中， 我们认为信号在时空之间的关联关系只依赖于平均运动的速度，随机下扫模型则认为， 湍流信号的时空关联关系还应该依赖于湍流 脉动的均方根。泰勒冻结假设给出的时空谱 的所有能量都集中在一条被称为对流线的直 线上，而随机下扫模型给出的时空谱的等值 线则是许多类似于椭圆的封闭曲线。

　　

　　图 3 壁面压力时空谱的 DNS 结果(实线)  与随机下扫模型(虚线)的对比

　　与速度类似，平均运动对流以及大尺度 涡的随机下扫作用是壁面压力时空关联的两 个主要机制。因此，壁面压力时空谱可以采 用随机下扫模型描述，表示为波数谱与高斯 频率分布的乘积。该模型中三个速度尺度分 别取为壁面压力的平均对流速度以及缓冲区 (由于篇幅所限，关于壁湍流分区的理论在 这里不做展开了，缓冲区可以简单地理解为 近壁湍流最活跃的区域)的脉动速度，不含 任何可调参数。图 3 对比了壁面压力时空谱的 DNS 结果与随机下扫模型的结果，证实 了随机下扫模型可以很好地得到壁面压力时 空谱的含能区性质，这里含能区指能量较高 的区域，即图中颜色较深的区域，在这个区 域，随机下扫模型和真实情况(DNS 结果) 符合较好。

　　以上研究获得国家自然科学基金基础 科学中心项目“非线性力学的多尺度问题研 究”(基金号 11988102) 资助。论文链接： doi:10.1017/jfm.2022.137。

杨子轩，研究员，非线 性力学国家重点实验室研究 员，博士生导师。主要研究 方向：1)近壁湍流的数值模 拟和理论，2)多相流的高保 真度数值模拟方法，3)机器 学习、量子计算等现代计算 机技术在流体力学中的应用。